Vhled       O nás       Obsah       Archiv       Partneři       Zajímavé weby       Kontakty

Modrá Čára1

Kniha docenta Petra Klána, ze které nabízíme našim čtenářům ukázku se jmenuje „Čísla. Vztahy, vhledy a věčné inspirace“ (kniha vychází v nakladatelství Academia). Naše ukázka je z kapitoly „Stručná historie čísel“. Docent Petr Klán je matematik, který se zabývá užitou matematikou a technickými vědami. Narodil se v Praze v roce 1957, studoval na ČVUT a MFF UK v Praze a získal doktorát z kybernetiky na Akademii věd v Praze. Pracoval na Katolické univerzitě v Lovani. V současné době je zaměstnancem ČVUT v Praze, kde přednáší například automatické řízení studentům programu Erasmus. Dlouhodobě a úspěšně spolupracuje s mladými vědci na středních školách. Od roku 2000 doprovází každoročně nejúspěšnější vybrané studenty do USA na mezinárodní soutěž INTEL ISEF a od roku 2003 se snaží vybrané studenty a studentky na tuto soutěž také systematicky připravovat, čímž značně vzrostl počet ocenění, které jsou tito mladí čeští badatelé schopni v daném roce získat. Má za sebou několik knih, například knihu „Chemická informatika“ nebo „Process Control“, před dokončením je kniha „Věda je číslo“.

Modrá Čára1
Stučná historie čísel
Petr Klán




Ačkoliv starověcí Řekové nepřijali mezi čísla zlomky, záporná čísla a nulu, objevili s použitím logického odvození zcela nový druh čísel. Tento objev do jejich matematiky však přinesl více nesnází než užitku. Důležitým pohledem na svět pro ně byla harmonie, která byla vyjádřena správnými poměry mezi celými čísly.  





Není zřejmé, do jaké míry uměl Horno erectus provádět např. nějaký základní početní úkon.Poznámka číslo 1 Nejstarším možným dokladem počátku počítání Homo sapiens sapiens, tedy moderního člověka, je stehenní kost paviána objevená v Africe (stáří 35 000 letPoznámka číslo 2). Je na ní 29 zářezů. Na vlčí kosti nalezené v bývalém Československu je 55 zářezů (stáří 30 000 let). Počítání se objevilo dlouho před zemědělstvím (8 000 let př. n.1.), hrnčířstvím (6 500 let př. n.1.), kolovými vozidly (2 700 let př. n.1.).

Vývojovým krokem v počítání byly malé hliněné známky. „Psalo“ se na ně ostrým rydlem. Objevily se v Západní Asii se vznikem zemědělství a používali je dávní farmáři k započítávání produkce. Sumerové žijící v Jižním Iráku objevili, že tyto známky lze zatlačit do vlhkých hliněných tabulek a tabulky vypálit. Tím vznikl trvalý záznam. Dalším krokem bylo grafické zaznamenávání předmětu počítání na tabulky spolu s napodobováním známek. Pět sklenic oleje mohlo být zaznamenáno pěti napodobeninami jedné známky a kresbou sklenice s olejem.

Do písemné podoby se početní systém vyvinul kolem r. 3 100 př. n. 1. v hlavních sumerských městech Jižního Iráku. Používal pouze kladná celá čísla, tj. přirozená čísla 1, 2, 3..., nicméně je pravděpodobné, že časní Sumerové znali dělení a zlomky. Později Babyloňané, kteří přemohli Sumery, a také Egypťané, zlomky používali.

Babylonané používali číselnou soustavu jak se základem 10, tak 60 a snadno zapisovali velká celá čísla i velmi malá pomocí zlomků. Koncepce zlomků Egypťanů byla omezující i když používali čísla až do milionu, neboť používali pouze zlomky s číslem 1 v čitateli. Jejich zlomky tak byly „pouze“ 1/2, 1/3, 1/4 ... Příklad egyptského a babylónského zápisu čísel je na obr. 1.

Egyptský a babylónský zápis čísel
      Obrázek 1: Egyptský a babylónský zápis čísel.

Brzy po nástupu zemědělství v Západní Asii počaly také jiné civilizace vyvíjet vlastní početní systémy a matematiku. Obě, mesoamerická (Mayové, Aztékové, Toltékové) i čínská civilizace, nezávisle vyvinuly vlastní číselné soustavy. Např. Mayové z poloostrova Yucatan pracovali s tak přesnou matematikou v souvislosti s astronomií, že mohli předpovídat oběžnou dráhu Venuše s odchylkou několika málo hodin na 500 let dopředu.

Ačkoliv starší civilizace a společnosti používaly čísla a matematiku, uznání za rané matematické práce získali až Řekové (600 let př. nl.). Jako první strávili dostatek času zaznamenáváním svých objevů. Časnější civilizace se vší pravděpodobností znaly některé objevy Řeků, dávnější matematici je však buď nezaznamenali (např. z důvodu utajení), nebo se nedochovaly. Řekové však zanechali bohatou literaturu pokrývající nejen matematiku. V rámci matematiky byli schopni formulovat takové otázky týkající se čísel, které dosud zůstávají bez odpovědi. Také přežívá víra Pýthagorejců, že čísla mají vliv a řídí všechny věci: Číslo je všechno.

Přirozená čísla 1, 2, 3, 4, ... byla jistě první čísla, s nimiž se lidé setkali. Babyloňané i Egypťané rozuměli, jak počítat s kladnými zlomky a zdá se, že s nimi společně s přirozenými čísly zacházeli jako s reálnými čísly. Naproti tornu Řekové nepředpokládali, že jsou zlomky reálnými čísly, neboť je nazývali poměry mezi přirozenými čísly.

Další součásti čísel, jakými jsou záporná čísla a nula, se vyvíjela mnoho staletí. Záporná čísla byla pravděpodobně prvně použita v Číně někdy po roce 300 př. n. 1., kdy se začaly používat červené tyčinky k zaznamenání „kladných“ čísel na počítacích tabulkách a černé k zaznamenávání „záporných“ čísel. Předpokládá se, že černé tyčinky se používaly k zaznamenání dluhu, podobně, jako se používají záporná čísla dnes. Kolik tyčinek vzniklo odečtením sedmi tyčinek od pěti tyčinek stejné barvy. Co znamenají minus 2 tyčinky? I když v Číně k označení dluhu používali „záporné“ tyčinky, k záporným výsledkům matematických operací nebo k záporným řešením rovnic bylo ještě daleko.

Opravdová záporná čísla prvně zvládli pravděpodobně až matematici v Indii (Brahmagupta) kolem r. 630 n. l. Nejenom, že používali záporná řešení rovnic, zavedli také další číslo, které dosud nebylo přijímáno, nulu. Jak může být nic něčím, přemýšleli např. Řekové. Po přidání nuly a záporných čísel bylo možné sčítat, odčítat, násobit a dělit přirozená čísla a zlomky a vždycky bylo možné získat výsledek. Kromě jedné výjimky, nebylo možné dělit nulou.

Dosud soubor čísel obsahuje přirozená čísla, záporná celá čísla, nulu. Souhrnně celá čísla -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... Nyní je možné k celým číslům přidat všechny zlomky, kladné i záporné. Vznikne tak soubor racionálních číse1.Poznámka číslo 3 Mohlo by se zdát, že jde již o všechna čísla.

Ačkoliv starověcí Řekové nepřijali mezi čísla zlomky, záporná čísla a nulu, objevili s použitím logického odvození zcela nový druh čísel. Tento objev do jejich matematiky však přinesl více nesnází než užitku. Důležitým pohledem na svět pro ně byla harmonie, která byla vyjádřena správnými poměry mezi celými čísly. Příkladem byly geometrické útvary, jako třeba pravoúhlý trojúhelník s poměrem délek svých stran 3 : 4: 5. Podobně také pravoúhlý trojúhejník s jednotkovými stranami měl mít přeponu jako poměr dvou celých čísel. Ukázalo se ale, že délku jeho přepony Odmocnina ze dvou není možné vyjádřit poměrem dvou celých čísel. To byl pro Pýthagorejce pohoršující fakt. Délku této přepony nazvali „nesouměřitelnou“, neboť nevyhovovala jejich pojetí harmonie.

Tak vzniklo první nesouměřitelné číslo Odmocnina ze dvou Otázkou bylo, zda existují i další. Řekové dokázali, že druhé odmocniny celých čísel, které nejsou celými čísly, jsou nesouměřitelné. Např. OdmocninyOdmocniny jsou nesouměřitelná čísla.

          Pouze vynechané Odmocnin ze 4 a z 9 jejichž odmocniny jsou celá čísla, nepatří do této skupiny. Tím vznikl nový druh čísel, kterých byl navíc nekonečný počet. Přidáním těchto nových čísel k racionálním číslům vznikne soubor tzv. algebraických čísel.

Ospravedlněním, proč se všechna tato čísla nazývají algebraická, je následující vhled. Rovnice

                              Lineární rovnice

a a b jsou známá celá čísla a x je neznámé číslo, má řešení x = b/a, tedy racionální číslo. Složitější rovnice

                              Kvadratická rovnice

má potom řešení

                              Odmocnina z b/a

x je buď celé číslo, zlomek, nebo nesouměřitelné. Tedy algebraické číslo. Podobně je možné uvažovat obecný tvar tzv. polynomiálních rovnic

                              Mnohočlen (polynom) stupně n

          Dnes je známé, že jejich řešení, pokud v oboru dosud zmiňovaných čísel existuje, je vždy algebraické číslo. To znamená, že rozšíření o nesouměřitelná čísla umožňuje řešit mnoho dalších typů rovnic. K názorným ukázkám čísel se zhusta používá číselná osa (viz obr. 2), kde číslům na ose odpovídají



Číselná osa

Obrázek 2: Číselná osa

body, jejichž poloha je úměrná velikosti čísla. Číselná osa znamená důležitou představu spojenou s vlastnostmi čísel. Pokud budou na číselnou osu postupně vyznačena všechna přirozená čísla, potom všechna celá čísla, potom všechna racionální čísla, potom všechna nesouměřitelná čísla, dohromady všechna algebraická čísla, zůstanou mezi odpovídajícími body nějaké mezery?

Co třeba číslo Číslo Pí = 3, 14159265... ? Časnější civilizace používaly zlomky k jeho aproximaci. Egypťané (16/9)2, v Číně 355/113. Žádný zlomek však přesně Číslo Pí nevyjadřuje. Je Číslo Pí algebraickým číslem? Pokud ano, bude řešením nějaké polynoniální rovnice s celočíselnými koeficienty. Pokud ne, musí existovat ještě nějaký jiný druh čísel přesahující uvedené hranice, čísla transcendentní. Otázka nebyla zodpovězena až do poloviny 19. století, kdy byla prokázána (J. Liouville) existence transcendentních čísel. Trvalo ještě téměř 40 let, než bylo dokázáno (C.L.F. Lindemann), že číslo Číslo Pí není řešením žádné polynomiální rovnice, a proto je transcendentním číslem. Číslo Číslo Pí je tedy svým způsobem jedinečné číslo patřící do třídy čísel, jejíž stáří není ani 200 let. Otázkou opět zůstává, kolik transcendentních čísel vlastně je?

Nekonečný počet přirozených čísel bývá označován symbolem Alef 0 (viz číslo Alef 0). Racionálních a podobně i algebraických čísel je překvapivě také Alef 0. Zbývají transcendentní čísla. Zatím jsme výše uvedli pouze jediné Číslo Pí. Bylo však ukázáno (G. Cantor), že transcendentní čísla tvoří větší nekonečný soubor čísel, než kolik čísel má soubor přirozených čísel, a že jich je 2Alef 0. Transcendentní čísla tak zabírají podstatnou část číselné osy. Jestliže budou na číselné ose vyznačena pouze algebraická čísla, potom na ose zůstane více mezer, než je algebraických čísel. Číselná osa bude cedníkem, kterým proteče voda. Ukázat náhodně na bod číselné osy a ptát se po odpovídajícím čísle tedy znamená, že by to téměř jistě bylo transcendentní číslo. Nekonečno transcendentních čísel je proti nekonečnu algebraických čísel tak veliké, že naděje na náhodný výběr algebraického čísla zůstává prakticky nulová.

Nyní je možné k algebraickým číslům přidat čísla transcendentní. Vznikne „globální“ číselný soubor reálných čísel. Reálná čísla se někdy dělí na čísla racionální a čísla, která racionální nejsou. Jsou iracionální, tvořena nesouměřitelnými a transcendentními čísly. Pokud na číselnou osu umístíme všechna reálná čísla, nezůstanou na ní mezery. Reálná čísla jsou jednorozměrná (jedno – dimenzionální), neboť k určení polohy bodu na číselné ose je potřebná jediná reálná souřadnice. Vzhledem k tomu, že reálná číselná osa nemá mezery, nazývá se někdy kontinuum (značí c – continuum) a pro její tvar přímky také lineárním kontinuum.

Z pohledu „počtu“ čísel takového kontinua nakonec ani nezáleží na tom, jak je dlouhé. Zda je např. jenom intervalem mezi čísly 0 a 1 nebo jde o celou osu. Buď AB daný úsek reálné číselné osy, jak ukazuje obr. 3. Při uvažování kratšího úseku číselné osy A'B' je možné nakreslit úsečky AA' a BB' a prodloužit je až do bodu E, kde se protínají. Jakýkoliv bod C na AB má jednoznačného „druha“ na A'B'. Po nakreslení úsečky CE totiž bod, ve kterém CE protíná A'B', tj. C', je jednoznačně přiřazen bodu C. Opačně, bod C' na A' B' má tímto způsobem jednoznačného „druha“ na AB. Body dvou různě dlouhých úseků reálné číselné osy tak jsou k sobě přiřazeny způsobem jeden k jednomu. Z pohledu počtu bodů mají různé dlouhé úseky stejnou velikost. Proto není důležité, zda je lineární kontinuum delší nebo kratší, má totiž stejný „počet“ bodů.

Číselná osa

Obrázek 3: Přiřazení různé dlouhých úseků reálné číselné osy

Číselná osa na obr. 2 není jedinou vizuální představou uspořádání čísel. Přirozená čísla n lze reprezentovat dvojicemi celých čísel (x(n), y(n)) podle obr. 4 (x označuje vodorovnou osu, y svislou osu, číslo n = 9 tak odpovídá dvojici (1, 2)). Racionální čísla vzhledem k Pýthagorově větě a2 + b2 = c2 a následně vydělením c2 a2/c2 ± b2 /c2 = 1 mají svou polohu na jednotkové kružnici. Příklad obrazového (vizuálního) kódování s pomocí základních geometrických obrazců je na obr. 5. Zvláštně vysekané travní obrazce tu s pomocí modulární aritmetiky založené na relativních prvočíslech 3 a 8 ukazují číslo 18.

                                                                                 Reprezentace přirozených čísel

Obrázek 4: Reprezentace přirozených čísel

                                                                 Číslo 18 ve specifickém vizuálním kódu (zdroj:www.viscodes.com)

Obrázek 5: Číslo 18 ve specifickém vizuálním kódu (zdroj:www.viscodes.com)



Začátek článku    Titulní stránka