Vhled       O nás       Obsah       Archiv       Partneři       Zajímavé weby       Kontakty

Modrá Čára1

Světoznámý český matematik emeritní profesor University Karlovy Petr Vopěnka je širší veřejnosti znám jako autor skutečně monumentálního díla o dějinách matematiky, nazvaného „Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci“, které vznikalo v období let 1981 až1996 a které je podloženo hlubokým studiem matematiky, historie, filosofie a veškerého vědění a umění té které doby.
          Dějinám matematického myšlení se věnuje již velmi dlouhou dobu a pod jeho vedením byla již přeložena řada klasických matematických děl do češtiny. Profesor Petr Vopěnka pochází z pedagogické rodiny a na začátku devadesátých let působil krátkou dobu jako ministr školsví mládeže a tělovýchovy a úroveň české vzdělanosti mu stále nedává spát. V prvním čísle časopisu Vhled z roku 2014 jsme zveřejnili přednášku „Matematika a vzdělávání“, kterou profesor Petr Vopěnka přednesl na Konferenci Jednoty českých matematiků v roce 2007. Jak vidíme je stále aktuální. V tomto čísle přinášíme ukázku z jeho stěžejního díla „Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci“. Děkujeme za laskavé svolení k zveřejnění nejen autorovi, ale také přednímu českému nakladateli, majiteli nakladatelství PRÁH (www.prah.cz) Martinu Vopěnkovi, který knihu vydal a vlastní také ke knize autorská práva.

Modrá Čára1



Krása a rozum
Petr Vopěnka


  Místo krásy

  Rozum

  Logické důkazy




    „… Podivno, pokud německý národ neužíval ve filosofii vlastního jazyka, hrál ve vědě toliko podružnou úlohu, musil si stále jenom osvojovati výsledky cizí vzdělanosti … Jakmile však jal se filosofovati svým jazykem, získal tento nejen co do objemu, hloubky a bystrosti, nýbrž i filosofie byla povznesena na tak vysoký stupeň, že německý národ již za jediné století slynul jakožto hlavní reprezentant vědeckého snažení …“ (Augustin Smetana – Obrat ve vývoji filosofickém a jeho konečný cíl).  







Místo krásy

Pythagorejci spatřovali krásu v přiměřenosti. Člověk s velkou hlavou není krásný, a s malou rovněž ne. Přitom však nejde o to, že ji má velkou nebo malou, ale že její velikost není v přiměřeném poměru k velikosti těla. Velikost hlavy od brady až k temeni je k velikosti člověka v poměru jedna ku osmi, píše dokonce ještě Vitruvius. Opírá se patrně o Polykleitův „Kánon", v němž byl podán pythagorejský výklad poměrů lidského těla. Také hudba je krásná, jestliže strunu, na níž ji vyluzujeme, zkracujeme nebo prodlužujeme v přiměřených poměrech. Přiměřenost je tedy přiměřeností poměrů velikostí.

Takto chápaná krása sama o sobě je neměnná a nadčasová. Nějaký člověk sice mohl být krásný a nyní již krásný není, ale jenom proto, že se změnil on, a nikoliv krása. Prostě nejprve krásy nabyl, a potom jí zase pozbyl. Nejprve vše na něm i v něm bylo v přiměřených poměrech, a potom se některé tyto poměry vychýlily.

Neměnnost krásy ovšem znamená neměnnost přiměřenosti, to je přiměřenosti poměrů. Krása se nám sice může rozplývat pod rukama, avšak zachytíme-li příslušné poměry, můžeme ji v nich držet. V těchto poměrech je pak krása uložena, není v nich však uložena vcelku, ale je do nich rozložena. Nicméně můžeme ji z nich již skládat.

Pevné a neměnné poměry jsou ty, které lze zachytit jako poměry čísel. Reálný svět nám nenabízí žádný vhodnější prostředek, jímž by mohly být poměry určovány a trvale přechovávány.

Jestliže přiměřeným poměrem velikosti člověka a jeho hlavy je osm ku jedné, pak čím přesněji se nám podaří na vytvářené soše tento poměr uskutečnit, tím více se přiblížíme ideálu krásy. Má-li naše socha být dokonale krásná, pak na ní musíme všechny poměry uskutečnit v naprosté přesnosti. Dokonalé přesnosti u poměrů velikostí v reálném světě nedosáhneme, a proto se nám nepodaří krásu rozloženou do různých číselných poměrů v reálném světě z těchto poměrů sestavit tak, abychom ji mohli, v její nejčistší podobě přímo nahlížet.

Máme však ještě svět geometrický (viz geometrický svět), v němž jsou nejrůznější poměry velikostí uskutečněny v naprosté čistotě a neměnnosti a kde je též v této čistotě můžeme vidět. Pro tyto své přednosti se geometrický svět stává místem, do něhož antika ukládá ideál krásy.

Jakmile umístíme krásu do geometrického světa, nemůžeme si nepovšimnout, že geometrická úsečka je nesrovnatelně krásnější než úsečka nakreslená na papíře. Krása tedy není pouze v přiměřenosti, ale vůbec v dokonalosti. Přiměřenost je jen jedním z projevů dokonalosti, a proto přiměřené poměry zachycují pouze některé stránky dokonalosti, a tedy i krásy. Vzápětí po umístění krásy do geometrického světa začala tedy být krása sledována v širším pohledu.

Na druhé straně – geometrický svět není tak prostorný, aby se do něj vešla veškerá krása, a proto náš pohled na krásu jím bude značně omezen. Antika je však opojena božským darem, jímž je geometrický svět. Je to dar, k němuž se upíná a jímž je ovlivněn hlavní směr jejího myšlení a konání. V něm je obsaženo – proto i z něho vychází veškeré čisté poznání. V něm je tedy hledáno, a proto i v něm bude uvězněno. Do tohoto božského žaláře vstupuje nyní i krása.

V geometrickém světě se krása setkala s pravdou. Časem se stane, že obě změní místo svého působení, budou spatřovány jinde než v geometrickém světě. Také se povedou spory, zda tam či onde byly vskutku spatřeny. Avšak od tohoto setkání v geometrickém světě budou již jaksi patřit k sobě. Kde bude spatřena pravda, tam bude hledána i krása a naopak.

S krásou vstoupily do geometrického světa i číselné poměry a s nimi pochopitelně čísla. Teprve tím se tento svět otevřel aritmetice, přijal ji a uvěznil.

Vstupem krásy do geometrického světa se však i samotné geometrii otevřel bohatý zdroj podnětů. Zájem geometrů se totiž obrátil k poměrům velikostí geometrických objektů. Tyto poměry byly jednak studovány obecně, jednak byly vyhledávány nejrůznější zcela určité poměry velikostí geometrických objektů. O těchto zcela určitých poměrech, jakým je například poměr délky úhlopříčky a strany čtverce, byly pak získávány různé poznatky. Vrcholným poznatkem tohoto druhu bylo zachycení nějakého takového poměru poměrem čísel.

Geometři brzy zjistili, že poměry čísel nedostačují k zachycení všech pevných a zcela určitých poměrů velikostí geometrických objektů. Tak například zanedlouho si ukážeme, že poměr délek strany a úhlopříčky čtverce nelze vyjádřit žádným číselným poměrem. Geometrický svět tedy nabízí více pevných a neměnných poměrů, než jich nabízí svět čísel. Protože matematici budou stále držet v podvědomí, že původní poměry jsou poměry mezi čísly, zavedou nová, obecnější čísla, jimiž budou poměry z geometrického světa zachycovat. Potom ovšem bude možné poměry z geometrického světa opět vyjmout a osamostatnit je.

Při našich úvahách jsme postupovali tak, jako kdyby geometrický svět byl již předem připraven na to, aby krása do něho mohla vstoupit, tedy předpokládali jsme, že byl otevřen již předtím, než do něj krása vstoupila. Ve skutečnosti tomu však asi bylo jinak. Stejně jako touha po dosažení ideálu pravdy, tak i touha po dosažení ideálu krásy přivedla antického člověka k objevení geometrického světa. Nemožnost uskutečnit dokonale přesné číselné poměry velikostí na reálných objektech, tedy nezpůsobilost reálného světa k tornu, aby v něm bylo možno nahlížet čistou krásu, odvedla zrak antického člověka od objektů reálných a vedla jej skrze ně k objektům geometrickým.

Něco jiného je uvidět jen nějakou geometrickou úsečku nebo křivku a něco jiného je uvidět čtverec nebo obdélník, jehož strany jsou v poměru dvě ku třem a podobně. K evidenci úsečky nebo křivky nám postačí obyčejné geometrické vidění, při němž nemusíme vyvíjet žádné zvláštní úsilí. Máme-li schopnost geometricky vidět, pak ji můžeme spatřit jako osamocený paprsek třpytící se v prázdnotě, popřípadě ještě všelijak zohýbaný. Naproti tomu evidovat čtverec znamená především evidovat, že má všechny strany stejně dlouhé, to jest, že jejich délky jsou v poměru jedna ku jedné, a také to, že má všechny úhly pravé, tedy opět tento poměr, tentokráte pro velikost úhlů.

Kdykoliv přistupujeme k obrázku čtverce nakreslenému na papíře s úmyslem evidovat jeho prostřednictvím geometrický čtverec, pak k němu přistupujeme s onou původní snahou po čistém uskutečnění číselných poměrů velikostí v geometrickém světě. Při otevření geometrického světa vedla ovšem tato snaha k vydolování geometrického čtverce z celé hromady geometrických objektů jen málo se od něj lišících, které všechny takový obrázek navozuje. Nyní, když geometrický svět je již otevřen, projevuje se tato snaha ve vůli jít za geometrickým čtvercem a těchto ostatních objektů si nevšímat. Jinými slovy, dnes uskutečněné čisté číselné poměry velikostí v geometrickém světě k evidenci přivoláváme tím, že zapuzujeme ty nevhodné; při otevření geometrického světa však musela být cesta skrze tyto nevhodné proklestěna.

Opíšeme-li okolo daného středu daným poloměrem kružnici, činíme to s očekáváním, že vzniklá křivka bude v každém svém bodě stejně krásná. Kdyby totiž někde byla krásnější než jinde, muselo by se to projevit v poměrech vzdáleností příslušných bodů od středu. Jen to, že všechny čtverce jsou stejně krásné a stejným způsobem krásné, je podkladem našeho názoru, že poměr délek strany a úhlopříčky je v každém čtverci týž. Stručně řečeno, stejná podoba znamená stejné poměry velikostí a naopak.

To není nějaká domněnka; takto geometrický svět vskutku vidíme. Nevidíme ho tak proto, že si ho tak přejeme vidět, ale proto, že takový je. Snaha právě takovýto svět objevit se totiž objevem geometrického světa setkala s úspěchem.
          Je velmi pravděpodobné, že snaha po dosažení ideálu krásy se na objevu geometrického světa podílela větší měrou než snaha po dosažení ideálu pravdy. Je dokonce možné, že do geometrického světa nepřišla krása za pravdou, ale pravda za krásou (viz Zlatý řez).
          Spojení antického ideálu krásy s geometrickým světem bude později největší překážkou stojící v cestě neeukleidovské geometrii.



Rozum

Jistě se shodneme na tom, že Timaiova úvaha, v níž nás přesvědčuje, že ke zmiňovaným účelům je nejvhodnější úměra o třech členech, je rozumná. Pouze bychom jí snad mohli vytknout, že je příliš úzká, avšak i omezení, které jsme před touto úvahou učinili, mělo své rozumné důvody. Naproti tornu následující úvahu za rozumnou asi považovat nebudeme. „Poněvadž zlatý řez je ze všech rozdělení nejkrásnější, pak ten, kdo rozděluje svůj majetek v tomto poměru, si doma vytváří nejkrásnější prostředí, zvláště když se snaží docílit, aby poměr počtu všech jeho bot ku počtu všech bot pravých byl co možná nejbližší poměru počtu všech bot pravých ku počtu všech bot levých.“

Uvažovat znamená vážit; provést nějakou úvahu znamená něco zvážit. Uvažovat rozumně znamená vážit rozumem a provést rozumnou úvahu znamená něco rozumem zvážit.

Rozum nenavažuje všemu stejným dílem, ale přiměřeně k tomu, co právě váží. Mýlil by se, kdo by se domníval, že je rozumné rozdělit potravu mezi koně a psa tak, že každému z nich nabídneme polovinu ovsa a polovinu masa. Právě tato nevšední přiměřenost obsažená v rozumu vzbudila naději těch, kdo spatřovali krásu v přiměřenosti, že i krásu lze postihnout rozumem.

Úvaha se nemusí odehrávat v nějakém jazyce. Když rozvazujeme nějaký složitý uzel, také uvažujeme, a přitom pro to, co vážíme, často ani nemáme žádné názvy.

Uvažování nespočívá v pouhém porovnávání předem známých vah toho, co vážíme, a váha v tom smyslu, jak o ní nyní hovoříme, pochopitelně není nějaké číslo. Příslušné váhy, přesněji přiměřenost těchto vah, v úvaze teprve hledáme, a proto zvažování nebývá vždy snadné. Ostatně k vážení patří také váhání.

Úvahy často provádíme proto, abychom na jejich základě učinili nějaké rozhodnutí. Na základě téže rozumné úvahy však někdy můžeme dospět k různým, dokonce i ke zcela protichůdným, a přitom prozíravým rozhodnutím. Prozíravě se rozhoduje, kdo se z Prahy vydá na lov lvů do Afriky, neboť v Evropě lvi volně nežijí, ale také ten, kdo se na základě téže úvahy na lov lvů vůbec nevydá. Pošetile by se rozhodl, kdo by se na základě téže úvahy vydal na lov lvů na Petřín.

Cenné jsou však i takové rozumné úvahy, na jejichž základě žádné rozhodnutí nečiníme, alespoň ne bezprostředně. Například je užitečné uvažovat takříkajíc zcela volně o umění, historii, matematice a podobně. Takové úvahy, jsou-li rozumné, jsou samy svým cílem, a přesto nejsou samoúčelné. Pomáhají nám rozumět světu.

Abychom vůbec mohli rozumně uvažovat, musíme být rozumem obdařeni, musíme mít schopnost rozum užívat a poznávat. Zjednáváme-li si porozumění pro nějaké jevy světa, pak rozumu užíváme. Již tím, že při prvním porozumění světu rozumíme jevu tak, že je „to“ a že „je“, začínáme provádět první úvahy. Druhé porozumění nám pochopitelně umožňuje provádět úvahy již mnohem náročnější. Zjednané porozumění pro nějaké jevy světa je tedy poznatkem vytěženým nejen ze světa, ale i z rozumu. Porozumění nějaké úvaze je pak již poznatkem týkajícím se především rozumu. Prostřednictvím rozumné úvahy tedy rozum odkrýváme – pochopitelně ne celý, ale jen jeho příslušný díl. Za nerozumnou prohlašujeme takovou úvahu, v níž rozum spatřit nedovedeme. Prohlásit nějakou úvahu za rozumnou nebo nerozumnou je však záležitost ošemetná. Vždyť i úvaha o rozdělení bot zlatým řezem někomu může připadat rozumná, a naproti tomu někdo jiný může prohlásit za nerozumnou prve uvedenou Timaiovu úvahu. Rozum totiž můžeme omylem spatřovat tam, kde není, nebo nevidět ho tam, kde je.

V celé této zde stručně nadhozené šíři se rozumem zabývat nebudeme; nebudeme zkoumat, co rozum je, co váží, jakým způsobem zvažování provádí a podobně. To totiž jednak není naším cílem, a kromě toho se v této obecnosti o tom skoro nic neví.

Zaměříme se pouze na jeden druh úvah, a to na logické důkazy. Ty totiž náležejí k úvahám, které jsou všeobecně za rozumné považovány, a kromě toho vedou ke zcela jednoznačným rozhodnutím. Ani ty však nebudeme studovat v plné šíři, ale jen potud a v tom rozsahu, v jakém se uplatnily v geometrii (náš text pochází z knihy „Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci“, která se právě tímto tématem zabývá – poznámka redakce).

Těchto několik obecných poznámek o rozumu je zařazeno do našich Rozprav vlastně jen z toho důvodu, aby nevznikl dojem, že studiem logických důkazů se studium rozumu vyčerpává.



Logické důkazy

Evidence, popřípadě názor, jsou sice základní prostředky k získávání poznatků, nejsou to však prostředky jediné. Poznatky můžeme totiž získávat i rozumným uvažováním.

Tak například víme, že v průběhu čtvrtého a pátého století se alespoň dva různí lidé narodili v týž den. Víme to přesto, že tento poznatek nemůžeme evidovat, být u toho a vidět to, ani ho nemůžeme čerpat z názoru, neboť události, jichž se týká, se nacházejí daleko za obzorem našeho vidění světa. Víme to proto, že kdyby tomu tak nebylo, pak by se v každém z těchto dnů narodil nejvýše jeden člověk, tedy buď jen jeden, nebo vůbec žádný, a tedy počet všech lidí narozených v těchto dvou stoletích by byl menší nebo roven počtu všech jejich dnů, což je méně než 80 tisíc. Tedy i počet lidí, kteří se zúčastnili v roce 451 bitvy na Katalaunských polích, by nemohl být větší než 80 tisíc. Tam jich však více než 100 tisíc padlo.

V uvedeném případě a v případech podobných provádíme jistou rozumnou úvahu v jazyce. Přitom se opíráme o nějaké dříve již získané výchozí poznatky. Během této úvahy rozumem přiznáme určitému tvrzení takovou váhu, že jediné prozíravé rozhodnutí, které můžeme na základě této úvahy učinit, je prohlásit toto tvrzení za poznatek. V takovém případě říkáme, že jsme toto tvrzení z výchozích poznatků logicky dokázali. Příslušné úvaze pak říkáme logický důkaz.

K dokázanému poznatku však můžeme mít nedůvěru. Tato nedůvěra může být několikerého druhu – podle toho, vůči čemu je obrácena. Především se může týkat výchozích poznatků. V uvedeném příkladu můžeme být nedůvěřiví k tomu, zda vůbec nějaké čtvrté a páté století bylo, zda v něm žili lidé, zda se uvedená bitva konala, zda v ní padlo více než 100 tisíc lidí, ale také k poznatkům, o něž jsme se opírali bezděčně, jako například že v uvedené bitvě nebojovali lidé narození ve třetím století a podobně. Nedůvěra tohoto druhu není pro nás nyní tak důležitá, neboť je to nedůvěra k nějakým jiným poznatkům, kdežto vůči našemu výslednému poznatku je vlastně podmíněnou důvěrou.

Zcela jinou nedůvěrou je nedůvěra vůči samotné úvaze, kterou jsme výsledný poznatek získali, tedy vůči logickému důkazu. Jen pouhé výchozí poznatky nám výsledný poznatek ještě nevydávají. Ten z nich získáme teprve užitím rozumu. Tato nedůvěra je tedy obrácena vůči rozumu a může být dvojího druhu.

První odpůrce dokázaného poznatku nám bude tvrdit, že ačkoliv je ochoten uznat všechny výchozí poznatky, nerozumí naší úvaze. Na¬příklad nám řekne, že by stejně dobře mohl tvrdit, že v uvedených stoletích se nenarodil vůbec žádný člověk, neboť kdyby se narodil, tak by žil, ale žádný takový nežije. O tomto odpůrci řekneme, že nedovede logicky myslet, že nedovede rozumu užívat. Bude-li i po našich domluvách a vysvětlování trvat na svém stanovisku, nezbude nám, než prohlásit ho za hlupáka. Ze setkání s takovým člověkem můžeme ovšem vytěžit důležité poučení, že totiž rozum jsme schopni bránit jen tím nejubožejším způsobem: zesměšněním toho, kdo proti němu vystupuje.

Druhý odpůrce bude tvrdit, že sice naší úvaze dobře rozumí, že vskutku dokazovanému tvrzení přiznává mimořádnou váhu, ale že přece jenom nemůže toto tvrzení uznat za poznatek, neboť se o něm nemůže přímo přesvědčit. Tento odpůrce tedy logickým důkazům rozumí, je schopen rozumu užívat, ale není přesvědčen o tom, že jediným správným rozhodnutím založeným na takovém důkazu je uznat dokázané tvrzení za poznatek o světě.

Vskutku; poznatky pouze logicky dokázané nenahlížíme v přímém bytí, ale jen v nutnosti bytí. Přísně vzato, nenahlížíme přímo, že v uvede-ných stoletích se nějací dva lidé narodili týž den, ale pouze že se to nutně muselo stát. Dokážeme-li logicky nějaké tvrzení, získáváme v každém případě poznatek týkající se rozumu. Zda získáme také poznatek o světě, to je ovšem jiná otázka.

Přesvědčení že rozum a svět jsou ve vzájemném souladu, je základním přesvědčením evropské civilizace. Parmenidův výrok, že myšlení a bytí jedno jsou, můžeme zajisté považovat za vyznání této víry.

Vůči rozumu můžeme mít nedůvěru, můžeme ho však také přijmout a užívat ho. Učiníme-li to, nalezneme v něm mocného spojence při získávání poznatků.

Také v geometrii nám rozum nabízí své služby. Při získávání poznatků o pravidelných mnohostěnech a o nesouměřitelnosti strany a úhlopříčky čtverce a podobně budeme již logické důkazy podstatně používat. Dokonce jsme logicky dokazovali již dříve, a to v jedné úvaze o střední geometricky úměrné v souvislosti s devátým obrázkem. Nepřivedli jsme totiž k evidenci, že délka úsečky EG je rovna v, ale pouze jsme to logicky dokázali.

V této kapitole ještě nebudeme zkoumat logické důkazy, ani povahu dokázaných poznatků. Necháme se rozumem pouze vést, tak jako se jím nechali vést geometři v době, o níž uvažujeme.



Začátek článku    Titulní stránka