Každá odcházející generace se domnívá, že se během jejího života velmi změnil svět lidí, a má svým způsobem pravdu. Změnily se vztahy mezi lidmi, rozmnožilo se poznání, věda a umění. Změnila se i příroda, a to nejen samovolně, ale též vlivem zásahů záměrně do ní prováděných lidmi. Ve druhé polovině devatenáctého a v první polovině dvacátého století se pak objevovalo stále více umělých ústrojných výtvorů lidských, to je strojů v nejširším významu toho slova. To vše se odehrávalo tu spojitě, tu ve větších či menších skocích. Avšak ani ty největší skoky nevybočovaly z rámce plného lidského porozumění.

Před padesáti lety, kdy jsem se jako student Matematicko-fyzikální fakulty rozmýšlel, zda se mám věnovat matematice nebo fyzice, jsem byl přesvědčen, že neexistuje stroj, jehož konstrukci a chodu bych nebyl schopen porozumět, byť často až po vynaložení značného úsilí. Toto přesvědčení sdíleli i moji kolegové, a to právem. Vždyť takovým vůbec nejsložitějším strojem byla tehdy atomová bomba, kterou někteří z nás měli v úmyslu podrobně prostudovat. O dvacet let dříve, kdy jím byl patrně bezdrátový rozhlas, sdílel toto přesvědčení kdekdo.

Tehdy totiž stále ještě platilo následující jednoduché kriterium na rozlišování strojů od živých výtvorů přírody. Strojem byla taková věc, jejíž vnitřní ustrojení leželo celé před obzorem ohraničujícím názor a schopnosti člověka. Naproti tomu vnitřní ustrojení například nějakého zajíce leželo z valné části za tímto obzorem.

Potom ale během velmi krátké doby nastala tak zásadní změna ve světě lidí, jakou nezažila žádná předcházející generace a asi hned tak nezažije ani žádná generace následující. Prožil jsem ji velmi citelně. Když se k nám dostal první jednoduchý počítač, učil jsem se z vlastní píle na něm programovat v jeho strojovém kódu, chtěl jsem totiž zjistit, jak to uvnitř chodí. Sotva jsem se to jakž takž naučil, už zde zase byl počítač mnohem složitější, do jehož vnitřku jsem neviděl – a co bych chtěl zdůraznit: nebavilo mne do něj nahlížet. Dobře jsem učinil, neboť zanedlouho zde byl další počítač, do jehož vnitřku podrobně a naprosto jasně neviděl už ani jeho konstruktér.

Prve zmiňované kriterium na rozlišování mezi umělým a přírodním tak přestalo platit. Vytváření strojů porušujících toto kriterium – říkejme jim superstroje – bylo umožněno zapojením přírodní rychlosti (jmenovitě rychlosti elektrického proudu) do provádění kalkulací se znaky, rychlosti mnohonásobně převyšující rychlost, jakou je schopen při této činnosti vyvinout člověk. Tím ale došlo k přetržení kontinuity do té doby pečlivě propracovávaného porozumění měnícímu se světu.

Mapová sbírka Přírodovědecké fakulty UK (Autor: Petr Jan Juračka)

Když pak tyto superstroje vstoupily do každodenního života lidí, když zaplavily jejich svět, pak už to nebyla jen změna světa lidí, ale zrození nového světa, byť z lůna toho starého. A protože mladá generace se rodí už jen do tohoto nového světa, musí být vědomí existence těchto dvou navzájem proplétajících se světů východiskem všech našich úvah o vzdělání, vzdělávání a výchově. Nebudeme-li je rozlišovat, nebudeme si navzájem rozumět.

Svou dnes již neodmyslitelnou spoluúčastí i v tom nejběžnějším životě každého člověka vtiskly superstroje světu lidí povahu, na niž lidstvo nepřipravily ani ty nejodvážnější verneovky. Vytvořily totiž novou přírodu, kterou chtě nechtě musí člověk zrozený v tak zvané kulturní oblasti akceptovat, tak jako v době nepříliš vzdálené musel Dajak zrozený na Borneu akceptovat džungli, v níž mu bylo žít. A také vztah obou k jejich přírodě je do značné míry obdobný.

Nezajímá nás vnitřní chod superstroje (například mobilního telefonu), tak jako toho Dajaka nezajímal krevní oběh loveného zvířete, ale to, co z něj lze vytěžit a k čemu slouží. Tomu odpovídajícím způsobem si pak dnešní člověk, stejně jako tehdejší Dajak, přeje být vzděláván. Cílem tohoto vzdělávání však nemá být vzdělání, ale operabilita.

Vzdělání se totiž týká kořenů a květů, operabilita plodů. Vzdělání vyžaduje vědomosti a schopnost usebrání rozumu a mysli. Operabilita vyžaduje informace a schopnost obratného zacházení s nimi. Tyto dva pojmy bychom neměli směšovat, i když dnes pro oba bývá používán název vzdělání.

Vzdělání se vztahuje k nitru člověka, operabilita k vnějšímu světu. Vzdělání spočívá ve vstřebávání především duchovních – rozumových i citových – statků, které lidstvo vytvářelo během svého téměř desetitisíciletého kulturního vývoje, a jejich zasazování do dějinných souvislostí. Velikost a šíře vzdělání nějakého jednotlivce pak závisí na množství, rozložení, povaze a náročnosti těchto jím získaných duchovních statků, a jeho hodnota na hloubce jejich vstřebání.

Naproti tomu k získávání statků hmotných, hraček pro dospělé lidi, požitkářskému ukájení pudů, ale i k uspokojování potřeb kulturních (za něž však nezřídka bývá považováno společenské tlachání a zábava značně primitivní) je pro přežívání v novém světě superstrojů, stejně jako před dvěma sty lety v pralesech severního Bornea, nepoměrně důležitější operabilita než vzdělání. Následkem toho ve školní výchově začíná být vyučování výcvikem operability, a to často značně pokleslé.

V rodícím se novém, a nadto globálním světě lidí a superstrojů se může samostatným subjektem (neboli národem v hypermoderním smyslu slova) stát jen takový celek navzájem spolupracujících a doplňujících se lidí, který je schopen účinně reagovat na výzvy jak ze strany vzdělání, tak i operability. Existence takových samostatných subjektů je žádoucí pojistkou proti totalitarismu, v globalizaci latentně přítomnému.

Naléhavým úkolem stojícím v dnešním světě superstrojů před evropským lidstvem se tak stalo zachování evropského kulturního a vzdělanostního dědictví. Přitom základem, na němž vyrostla evropská civilizace, je matematika. Proto jsme se zde sešli, abychom právě na tuto skutečnost důrazně upozornili.

Chci varovat před počínáním těch, kteří zmocnivše se vlivu na veřejné mínění, nejsou pro tupost svého intelektu schopni tuto skutečnost nahlédnout. Nejde jen o hojné misomusy. Stejně nebezpeční jsou i různí pseudohumanisté, kteří v domnění, že činí dobro, potlačují matematiku na školách a tlumí každého, kdo by mohl vyniknout; ti totiž nemilují děti, ale svoji okázalou lásku k dětem (děti milují maminky v SOS – vesničkách).

Přitom ovšem ne každé vzdělání, zvláště pak ono hlubší, opřené o matematiku (ostatně stejně jako hlubší vzdělání hudební), je pro každého. Dávno již neplatí pověra o stejných schopnostech všech lidí. Tomu, kdo k tomu schopnost má, však nesmí být vzdělání odpíráno, ale naopak všemožně umožňováno.

Co se týče vztahu matematiky a vzdělání, pak přinejmenším celý semestr by bylo možno přednášet o tom, že bez znalosti alespoň základních principů a poznatků, které matematici během několik tisíc let trvajícího kulturního vývoje lidstva objevili a nasbírali, není vzdělání, jmenovitě v Evropě, vůbec myslitelné.

Zde je na místě alespoň předběžně připomenout následující úryvek z předmluvy prof. Zdeňka Neubauera k mé knize Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci.

„Všichni velcí myslitelé byli matematiky“ zaznělo úvodní prohlášení (při zahájení mých filozofických seminářů na MFF KU). Zarazilo nás to. Byli jsme vychováni v předsudku, že matematika poskytuje jazyk vědám přírodním, zatímco filozofie vědám humanitním. A přesto je tomu tak. Nad branou Platónovy Akademie stálo varování: „Nikdo negeometrický nechť nevstupuje“. Klenba chrámu západní vzdělanosti spočívá na dvou sloupech: na filologii a na matematice. Jev „dvojí kultury“, totiž propast mezi vědami přírodními a vědami humanitními, ohrožuje naši vzdělanost.

Není druhé lidské činnosti, která by tak důvěrně provázela duchovní dějiny lidstva, a v posledních pěti staletích především Evropy, jako pěstování a vytváření matematiky. V ní se odráží vývoj myšlení a naopak její vývoj ovlivňuje rozvoj myšlení. O Evropě se nezmiňuji zbůhdarma, neboť právě její kulturní a mocenská převaha nad ostatním světem má svůj nejhlubší základ v matematice. Ponechme stranou otázku, zda podmanění světa evropskou kulturou lze považovat za šťastnou událost.

O povaze samotné matematiky pak platí to, co jsem napsal v úvodu k mé shora uvedené knize.

Matematika je veletokem valícím se k nám od obzorů minulosti, syceným z nesčetných pramenů i praménků sotva znatelných, okázale se lesknoucích i skrytých v temnotách, vytrysklých na úsvitě vzdělanosti i v dobách nedávných, ba téměř současných. Zprávu, kterou nám přináší, se budeme snažit číst. Ne však tu, jež pluje po jejím povrchu a je zachycena v nepřeberném množství poznatků, jimiž jsou přecpány tisíce knih, ale tu, kterou nám přináší o lidském poznání. Vždyť v té ucelenosti jako ona by nám o něm jen málokdo mohl povědět více. Do ní se zapsaly dějiny lidského ducha – a někdy i srdce.

Pro nedostatek času se v souvislosti se vzděláním zmíním pouze o některých aspektech nejvýznamnějších a patrně i nejvydatnějších přítoků onoho veletoku, jímž je matematika, jejichž proudy se i po té valí někdy samostatně, jindy se naopak navzájem proplétají a sytí.

Prvním z těchto proudů je matematika názoru, představovaná po dlouhá staletí především názorem geometrickým. U jeho zrodu stojí jeden z nejpozoruhodnějších objevů, jímž je objev geometrického světa v jeho naprosté čistotě a vyostřenosti, k němuž došlo v antice. K jeho uvedeni poslouží opět následující výňatek z knihy „Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci“, která je ostatně celá věnována matematice geometrického názoru.

Geometr má před sebou list papíru pokreslený čarami rozmanitých tvarů, rovnými i křivými, vzájemně propletenými a protínajícími se v různých bodech. Jeho zrak spočinul na obrázku, jeho pohled však pronikl skrze obrázek, ven z reálného světa do světa geometrického. Tak například za rovnou čarou uviděl geometrickou úsečku, uviděl ji v její úplné čistotě a spolu s ní uviděl dokonalou přímost. Od okamžiku tohoto prohlédnutí je pro něj navždy úsečka úsečkou geometrickou, a ne čarou narýsovanou podle pravítka.
          Byly doby, kdy jsme geometrický svět neznali. Děti, které se dosud neučily geometrii, ho neznají. Učitel jim tento svět otevře. Jeho úkol je zdánlivě nesplnitelný, neboť ho nemůže ani ukázat, ani nenalezne dostatek slov, jimiž by ho popsal. Může tento svět pouze různě navozovat, například narýsovat čáry pomocí pravítka a kružítka a říci, že se úsečkám a kružnicím podobají, avšak ukázat na nich může jen to, čím se jim nepodobají. Do geometrického světa můžeme někoho vést jen na kus cesty, můžeme ho přivést jen před jeho bránu, rozhodující krok však musí učinit každý sám.

Jde tedy o objev zvláštního ideálního světa, který je podložen pod světem reálným. Vědou v evropském smyslu je pak vědění a získávání poznatků o tomto ideálním světě, přičemž tyto poznatky jsou přenášeny do světa reálného. To se týká veškeré evropské vědy, netoliko geometrie; různé vědy si však podle vzoru geometrie vytvářejí obdobné ideální světy.

Zde přítomné obecenstvo jistě není třeba přesvědčovat, že Newtonova fyzika je vědou o ideálním světě, který byl vytvořen doplněním geometrického světa o ideální matematické podklady některých dalších jevů reálného světa: času, pohybu, hmoty a její hustoty, síly a podobně. Případ Einsteinovy fyziky je obdobný, pouze klasický geometrický svět byl nahrazen jiným geometrickým světem. Nejde však toliko o vědy přírodní, ale o evropské vědy vůbec.

Den otevřených dveří Př Fak UK (Autor: Petr Jan Juračka)

Na lékařské fakultě nepřednášejí o nějakém konkrétním člověku, ale o člověku ideálním. Říkají-li například, že má neštovice, pak ani ty neštovice nejsou reálné. Kdyby byly reálné, tak by se od něj všichni nakazili. Pitvají-li nějakou mrtvolu, pak – není-li to pitva soudní – nejde jim o toho člověka, kterého pitvají, ale o inspiraci k získávání poznatků o člověku ideálním, podobně, jako když geometr prostřednictvím obrázku zkoumá zákonitosti ideálního geometrického světa. Zdá se, že právě v tom spočívá výlučnost evropské medicíny.

Čím hlouběji při vytváření ideálních podkladů reálných jevů pronikneme, tím hlubší poznatky lze o nich očekávat. Takový neobyčejně hluboký ponor pod jevy psychické a objev ideálního světa hlubinné psychologie učinil Carl Gustav Jung. Poslechneme si, co napsal o jím objeveném archetypu.

Carl Gustav Jung, „Duše moderního člověka“, Atlantis (1994) „Archetyp“ (str. 311)
          Setkávám se stále znovu s nedorozuměním, že archetypy jsou určeny obsahově, to je že jsou jakýmsi druhem nevědomých „představ". Je proto nutno znovu zdůraznit, že archetypy nejsou určeny obsahově, nýbrž pouze formálně, a to nakonec jen velmi podmíněným způsobem. Obsahově je určen praobraz (původní Jungův výraz pro pojem archetyp) prokazatelně jen tehdy, je-li vědomý, a tudíž naplněn materiálem vědomé zkušenosti. Jeho formu naproti tomu lze srovnat se systémem os krystalu, který do jisté míry preformuje utváření krystalu v matičním roztoku, aniž sám hmotnou existenci má. Ta se projevuje teprve na způsobu ukládání iontů a pak molekul. Archetyp sám o sobě je prázdný formální prvek, který je jen jakási facultas praeformandi, jakási apriori daná možnost formy představy. Nedědí se představy, nýbrž formy, které v tomto ohledu přesně odpovídají rovněž formálně určeným instinktům. Právě tak málo jako existence archetypu o sobě se dá též dokázat existence instinktů, pokud se tyto instinkty nejeví in concreto. ... Zdá se mi pravděpodobné, že vlastní podstata archetypu není vědomí přístupná, tj. je transcendentní, pročež ji označuji za psychoidní. Nelze se ani na okamžik oddávat iluzi, že bychom nakonec byli s to archetyp vysvětlit, a tím by byl vyřízen. Ani nejlepší pokus o vysvětlení není nic jiného než víceméně zdařilý překlad do jiného obrazného jazyka.
          Kolektivní nevědomí představuje psýché, která je v protikladu k psychickému, jež je nám známo, je nenázorná, a proto jsem ji označil jako psychoidní.

Tedy velmi volně řečeno, archetyp je něco jako čtverec o sobě, či lépe řečeno, jako platónská idea čtverce. Je psychoidní, neboť představit si můžeme vždy jen nějaký konkrétní čtverec, nicméně čtverec jako takový je součástí kolektivního nevědomí přinejmenším evropského lidstva.

I když toto přirovnání značně kulhá, je jisté, že kdo nemá žádné zkušenosti s geometrií, ten asi vůbec nepochopí, o čem to vlastně Jung hovoří. Stručně řečeno, i nad branou Jungovy hlubinné psychologie by měl být nápis: „Nikdo negeometrický nechť nevstupuje“.

Objev geometrického světa však netoliko inicioval základní přístup evropských věd k předmětům jejich studií, ale řadu významných vkladů do evropské vzdělanosti vnesla i samotná geometrie, to je věda o geometrickém světě. Z jejich nepřeberného množství je třeba připomenout především přizvání prostoru mezi předměty gometrického studia. Toto zpředmětnění nutností, v nichž je sevřen geometrický svět, a možností geometrické tvorby, nenalezlo obdobu v jiných vědách. Pouze fyzika si v době Newtonově vypůjčila prostor od geometrie, aby do něj vložila celý reálný svět. Právě tímto osudovým krokem novověké evropské vědy se prostor mohl stát místem pro apriorní syntetické soudy, a tedy i základním zdrojem Kantovy filosofie. O něj je opřena Kantova Kritika čistého rozumu, jemu podobné zdroje pak Kant hledal i v obou svých dalších slavných Kritikách.

Usilovné pěstování geometrie v antice a znovu pak v renesanci, kdy navíc byly systematicky zkoumány prostorové vztahy v souvislosti s architekturou a vůbec s uměleckou zrakovou a hmatovou tvorbou, které vrcholilo v baroku a z důvodů již více prosaických pokračovalo v devatenáctém století, vložilo do genů evropského lidstva – dá-li se to tak obrazně říci – jedinečnou schopnost geometrické představivosti. To ostatně může potvrdit každý, kdo se setkal se studenty z různých částí světa. Tuto schopnost však začínáme ztrácet když podle vzoru těch, pro něž není příznačná, omezujeme vyučování geometrie na školách; o geometrii deskriptivní ani nemluvě. Je pravda, že na obrazovkách počítačů lze pozorovat geometrické útvary, o jakých se nám ještě před několika lety ani nesnilo. Něco jiného však je tyto útvary pozorovat a něco jiného je schopnost byť nesrovnatelně jednodušší útvary nakreslit. Tuto schopnost bychom měli, když už ne zdokonalovat, tak alespoň chránit jako ohrožené druhy živočišné říše.

Druhým neméně významným proudem matematiky, bez jehož využívání by se evropská vzdělanost nemohla vůbec rozvinout do nynější podoby, je ten, který jsem nazval matematikou kalkulací. Jde o metodu předpovídání prostřednictvím kalkulací se znaky, prováděnými podle určitých, vždy předem jasně stanovených pravidel. Přitom předpovídáním zde rozumíme netoliko predikce, ale též kodikce a retrodikce, tedy obecně: mínění, které předchází před věděním. V těchto případech jde ovšem o předpovědi, které lze považovat za naprosté jistoty, neboli za vědění samo.

Tento proud matematiky vznikl v Indii, osvojili si ho Arabové, a do Evropy pronikl zásluhou arcibiskupa Raimunda (1125-1151) z Toleda, který zorganizoval překládání arabských spisů do latiny. Pro nás jsou v tuto chvíli důležité především dva traktáty, které napsal Al Chvarizmi, matematik působící v proslulém Domě vědění Bajt al Hikma v Bagdadu za kalifátu Al Mamuna (813-833). Názvy těchto traktátů: Kniha o indickém počítání a Kniha o krácení a převádění z jedné strany rovnice na druhou (velmi volně přeloženo), hovoří samy za sebe.

V knize „Meditace o základech vědy“, Práh (2001), jsem počáteční vývoj tohoto proudu matematiky stručně popsal následujícími slovy:
          Z důvodu ne dosti jasných byli indičtí Arjové okouzleni velkými čísly. Hned v jednom z jejich nejstarších spisů, jímž je Lalitavistara, doprovází Budhu 32 tisíc bódhisattů (to je těch, kteří se stanou jeho vtěleními) a 12 tisíc mnichů. Vrcholem pak jsou v tomto spisu popisované Budhovy schopnosti dopočítat se velkých čísel. Jako odpověď na otázku, může-li počítat ještě dále než 100 Koti (jedna miliarda), vyjmenoval ještě 22 čísel, z nichž každé následující je stonásobkem předcházejícího, až do čísla tallakšána (což je při našem současném značení číslo l0 na 53. Potom řekl, že tato čísla tvoří pouze první počet a těchto počtů je devět. Poslední číslo v devátém počtu by tedy bylo 10 na 421.
          Sice mnohem menší, leč rovněž nepředstavitelně velká, je i uváděná délka života stvořitele Brahmy, která činí sto jeho let, což je 31104 krát 10 na 10 roků lidských. Jeden Brahmův den, takzvaná kalpa (4320 milionů lidských roků), je pak dobou trvání jednoho světa. K tomu dodejme, že nejen v Evropě, ale vůbec v běžném lidském životě byla ještě dlouhou dobu pro svou velikost sotva upotřebitelná i taková dnes již malá čísla, jimiž kdosi vyjádřil velikost armád, o nichž Bhagavadgíta píše ve svém prvním zpěvu. Kuruovská armáda, která měla 11 divizí, byla prý o čtyři divize početnější než pánduovská. Jedna divize – akšauhiní – měla 21870 válečných vozů, stejný počet slonů, 65 610 jezdců na koních a 109 350 pěšáků.
          Indům ovšem nešlo jen o označování a pojmenování těchto obrovitých čísel, ale též o počítání s nimi, to je především o provádění základních aritmetických operací s čísly. Přitom pomalu vycházelo najevo, že obtížnost těchto operací souvisí s tím, jak prozíravé a důmyslné značení čísel bylo zvoleno. Až pak najednou indičtí matematikové poprvé v dějinách lidstva stanuli v údivu nad tajemnou mocí znaků propůjčenou jim vhodnými kalkulacemi s nimi.
          Aritmetický kalkul založený na poziční desítkové soustavě (dotvořený pravděpodobně v sedmém století indickým matematikem Brahmaguptou, jenž v takovém případě zaujímá v matematice kalkulací stejné místo jako Eukleides v matematice geometrického názoru) obdaroval ty, kteří se v něm vyznali, schopností rychle a současně naprosto důvěryhodně operovat (dodnes používaným způsobem) s přirozenými čísly. A je třeba zdůraznit, že právě snaha operovat s nepředstavitelně velkými čísly, a nikoliv s čísly užívanými v běžném životě, vedla k objevu zmíněného aritmetického kalkulu. Pro běžnou potřebu postačovaly v Evropě ještě více než tisíc let po objevu tohoto kalkulu číslice římské, počítadlo a znalost velké násobilky.

Algebraický kalkul operující se znaky označujícími čísla (netoliko přirozená), při nichž aritmetické operace jsou pouze naznačovány k tomu účelu zvolenými znaky, byl postupně zdokonalován a nakonec dotvořen až v Evropě. O dalekosáhlosti nápadu označovat samostatným znakem i veličinu neznámou a kalkulováním s ní a se znaky označujícími veličiny známé vyjádřit neznámou prostřednictvím známých, jistě není třeba hovořit. K upozornění na další vývoj matematiky kalkulací nám poslouží opět výňatek z prve uvedené knihy.

Všechny problémy geometrie lze snadno převést na takové výrazy (termy), k jejichž sestrojení stačí znát pouze délky některých úseček. Vyslovením této teze začíná proslulá Descartova Geometrie, vydaná roku 1637. Výrazy, o nichž je řeč, jsou algebraické termy (to znamená jistá slova v abecedě složené z operačních znaků pro sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocňování, dále pak z konstant pro čísla a závorek) kopírující vztahy mezi danými a hledanými geometrickými veličinami, přičemž v nich vystupující blíže neurčené konstanty (proměnné) označují délky oněch zmiňovaných výchozích úseček. Descartes pak předvádí, jak lze podle návodu zachyceného takovým termem, v němž se vyskytují nejvýše druhé odmocniny, sestrojit z daných úseček úsečku hledanou.

Descartův myšlenkový obrat byl dalekosáhlý. Jestliže dříve byl geometrický svět místem, v němž algebraický kalkul hledal oporu pro oprávněnost svých pravidel, tak nyní se stal místem, v němž algebraický kalkul nalezl významné uplatnění. Vedle oborů čísel (přirozených, racionálních, reálných) se tedy i geometrický svět stal předmětem, na jehož studiu se podílí algebraický kalkul. V Descartově Geometrii tak byla matematika kalkulací použita ke studiu jednoho z prvních předmětů studia matematiky názoru, jímž je eukleidovský geometrický svět.

Descartovou zásluhou se matematika kalkulací dočkala svého třetího triumfálního úspěchu. Poprvé to bylo tehdy, když člověk znalý indického aritmetického kalkulu hbitě a bezpečně pouhou kalkulací s číslicemi předpověděl výsledek součinu dvou velkých čísel, k němuž se člověk neznalý klopotně dopracovával. Podruhé tehdy, když člověk znalý algebraického kalkulu hbitě a bezpečně pouhou kalkulací se znaky předpověděl řešení složité početní úlohy, k němuž se člověk neznalý dopracovával jen s nesmírnou duševní námahou. Potřetí nyní, když člověk znalý algebraického kalkulu a jeho použití v geometrii pouhou kalkulací se znaky hbitě navrhl geometrickou konstrukci požadovaného objektu, jejíž správnost člověk toho neznalý nahlížel jen s velkými obtížemi, pronásledován při tom pocitem, že takovou konstrukci by sám asi nebyl schopen vymyslet.

Zanedlouho Newtonův a Leibnizův objev infinitesimálního kalkulu doplnil tři shora uvedené triumfální úspěchy matematiky kalkulací o úspěch čtvrtý. Došlo k němu tehdy, když člověk znalý infinitesimálního kalkulu hbitě vypočítal, že plošný obsah útvaru vymezeného sinusoidou a osou x v intervalu od 0 do 7T je roven dvěma, což člověk neznalý tohoto kalkulu asi nebyl schopen vůbec nahlédnout.

Ani v tomto případě však nešlo o úspěch poslední. Uveďme jen namátkou úspěšnost boolevského kalkulu, rozmanitých kalkulů algebraických, predikátového kalkulu či kalkulů zachycujících různé neklasické logiky a podobně. V této souvislosti nelze nepřipomenout vliv matematiky kalkulací na vznik významného filosoficko-matematického směru, jímž se stal matematický formalismus.

Albrecht Dürer (1515)

Jak je patrno, k dalekosáhlým objevům protomatematickým, čímž rozumím nalezení vhodného kalkulu k zachycení té či oné situace, dochází jen zřídkakdy. Přitom ale každý takový úspěšný objev přináší s sebou velký pokrok lidského bádání. Objevitelská složka matematiky kalkulací však nespočívá toliko v objevech protomatematických. Tak například zjednodušení kalkulovatelnosti nějakého kalkulu používaného k zachycení nějaké situace si vynutí vznik imaginární nadstavby zkoumané situace. K tomu došlo při objevu komplexních čísel, při zavedení nevlastních bodů na přímkách a nevlastních přímek rovin v geometrii projektivní, při zavedení zobecněných funkcí (distribucí) v matematické analýze a podobně. Použitelnost téhož kalkulu v různých situacích vyvolává vznik abstraktních (to znamená z nich odloučených) ideálních situací (viz abstraktní algebraické grupy, algebraická tělesa, ...). Zachycení týmž kalkulem tutéž situaci jinými způsoby patří k významným principům poznání (viz princip duality v projektivní geometrii a nejen v ní). Přitom všechny tyto a jim podobné úkony mysli se lze stěží naučit jinde než v matematice.

Samotné kalkuly se ovšem mohou stát předmětem matematického studia, a tedy i jejich studium může být prováděno metodou matematiky kalkulací. To pak vede k nesmírně pozoruhodným – a pro řadu i vysokoškolsky vzdělaných lidí neakceptovatelným – poznatkům, které se týkají například neproveditelnosti trisekce úhlu eukleidovskou konstrukcí, kvadratury kruhu, či nedokazatelnosti toho či onoho tvrzení z těch či oněch axiomů. Přitom nikoliv různé testy inteligence, ale právě pochopení těchto skutečností (ne nutně technických detailů příslušných důkazů) zařazuje lidi do vyšší kasty inteligence.

Třetí proud matematiky, o němž se ještě alespoň velmi stručně zmíníme, vytryskl na samém úsvitu civilizace. Prodral se do dějin spolu s přirozenými čísly v jejich abstraktní, to je od všech jejich výskytů v reálném světě odloučené, podobě. Staletími prověřená pedagogická zkušenost nás utvrzuje v přesvědčení, že již velmi malé děti (žáci prvních tříd základní školy) mají schopnost tyto ideální abstraktní objekty nazírat a zacházet s nimi způsobem, jenž odpovídá jejich věku. Proto jestliže lze říci, že ten, kdo nedovede nahlížet do antického geometrického světa není dědicem evropské vzdělanosti, pak ten, kdo nedovede nazírat přirozená čísla v jejich abstrakním podobě, není civilizovaným člověkem v hlubším významu toho slova.

Proud matematiky, o nějž nám nyní jde, se po jisté době rozlil do dvou dosti samostatně se valících ramen. Starší z nich, pythagorejské, se zaměřovalo především na kvalitativní vlastnosti malých přirozených čísel. Z nepřeberného množství poznatků tohoto druhu mnohé ovlivnily vývoj lidského poznání, jmenovitě pak jeho hlubiny; jiné naopak přiváděly poznání na zcestí (viz například dnes hojně vydávané mělké a primitivní knihy numerologické).

Z těch základních a svým způsobem rozhodujících vkladů tohoto směru matematiky do evropské kultury zmíníme na ukázku jen formování evropského hudebního vkusu.

Aby stupnice tónů byla flexibilní, musí počet jejích tónů být prvočíslo. Stará egyptská stupnice je třítónová, čínská pětitónová a naše Pythagorem nám vštěpovaná je sedmitónová. Tóny této naší stupnice jsou – dnešními slovy řečno – stanoveny celočíselnými poměry kmitočtů jednoduchého harmonického pohybu částeček vzduchu. Přitom další základní matematické rozvedení tohoto vkladu vloženého do klasické evropské hudby je schopen provést i takový matematik, který nemá dobrý hudební sluch. Krátce řečeno, nejen evropský vkus zrakový a hmatový, ale i vkus sluchový, má hlubinný základ v matematice. Hudba provozovaná na technopárty je tak předobrazem osudu evropské civilizace, která odtržena od tradiční rozvinuté evropské vzdělanosti, upadá do svého prapůvodního duchovního stavu, jímž je barbarské divošství.

Druhé mohutné rameno tohoto proudu, které se oddělilo od toho staršího, pythagorejského, otevřelo prostřednictvím přirozených čísel hlubiny nekonečna. Stalo se tak nepochybně pod vlivem křesťanství, jmenovitě křesťanských (zvláště katolických) výkladů Boha. V nezměrných prostorách nekonečna pak matematika nalezla úrodnou půdu pro svobodnou tvorbu nejrůznějších ideálních struktur. O tom však až někdy jindy.

Matematika není vědou v obvyklém smyslů toho slova, neboť nemá svůj vlastní předmět studia. Není vědou o živé či neživé přírodě, o vesmíru, o Zemi, o člověku, o lidské společnosti a podobně, jak je tomu v případě přírodních nebo společenských věd.

Na druhé straně matematika občas otevře nějaký další předmět studia spolu s vědou o něm, kterou nezřídka vybaví novými vhodnými nástroji a metodami zkoumání. Geometrie, aritmetika, teorie reálných (popřípadě komplexních) funkcí, teorie množin a podobně, mají různé – byť navzájem značně provázané – předměty studia a svým způsobem i různé metody zkoumání. Jsou to tedy různé vědy. O těchto vědách se říkává, že to jsou jednotlivé discipliny vědy zvané matematika. Název vědy matematické je však výstižnější, neboť umožňuje rozlišovat mezi matematikou jako takovou a vědami z ní zrozenými.

Matematika není souhrnem těchto matematických věd. Takovým výměrem bychom ji sevřeli do strnulého rámce poplatného určité době a připravili jí tak o historií prověřenou podstatnou stránku její povahy, a to o schopnost každý takový rámec kvalitativně i kvantitativně překračovat spolu s obtížně tlumeným nutkáním tuto schopnost uplatňovat.

Matematika není logika, neboť logicky uvažovat se každý naučí sám; z matematiky se toho sám od sebe nikdo moc nenaučí. Snad tisíc let by mi trvalo, kdybych měl sám vymyslet všechno to, co jsem se z matematiky naučil, a to by mě ještě čas od času musel někdo upozornit, co bych měl dál vymýšlet, neboť mne samotného by to nenapadlo. Přitom všechno to, co jsem se z matematiky naučil, je jen žalostně malá část toho, co matematika do dnešní doby vytvořila. Krátce řečeno, matematika vyžaduje nesrovnatelně vyšší intelektuální schopnosti než pouhé používání rozumu.

Myslím tedy, že s matematikou jako takovou se nejlépe vyrovnáme, když řekneme, že matematika je do krajní přesvědčivosti vyvedené neustále se vyvíjející učení, do něhož ti více zasvěcení zasvěcují ty méně zasvěcené.

A právě tato povaha matematiky vynáší na světlo naléhavost otázek týkajících se vyučování matematice na našich školách. Otázek, jak zpřítomnit matematiku – tento úchvatný příběh lidského intelektu – těm, kteří k tomu mají schopnost.

Začátek článku    Titulní stránka