Meditace pátá

Matematický charakter novověké evropské vědy.

Následující slova jsou vytržena z přednášky Martina Heideggera věnované rozboru Kantovy "Kritiky čistého rozumu", která se konala v roce 1935. Zmíněnými třemi charakterizacemi novověké vědy - věda o faktech, experimentální a měřicí věda - nepostihujeme základní rys nového postoje, který vědění zaujímá k věcem. Ten musí záležet v tom, co vládne v základním pohybu vědy jako takové, stále stejně udávajíc směr pracovnímu zacházení s věcmi a metafyzický rozvrh věcnosti věcí. Jak máme zachytit tento základní rys ?
Tento hledaný základní charakter novověkého postoje vědění vystihneme, když řekneme : Nový nárok vědění je matematický. Od Kanta pochází často uváděná, ale dosud málo pochopená věta : "Tvrdím však, že v každé speciální nauce o přírodě může být nalezeno jen tolik opravdové vědy, kolik je v ní matermatiky." (Předmluva k Metafyzickým principům přírodovědy.)


Rozhodující otázka zní : Co zde znamená matematika a matematický ? Zdá se, že odpověď na tuto otázku můžeme čerpat jen z matematiky samé. To však je omyl, neboť matematika sama je jen určitým vyformováním matematična.
Dávno jsme si zvykli při matematice myslet na čísla. Je zřejmé, že matematično a čísla jsou v jisté souvislosti. Zůstává jen otázka : Záleží tato souvislost v tom, že matematično je něco číselného, nebo naopak v tom, že to, co má číselný charakter, je něco matematického ? Správné je to druhé.

Matematično (mathémata) je to "na" věcech, co vlastně už známe, co tedy nezískáváme teprve z věcí, nýbrž jistým způsobem sami již přinášíme s sebou. Odtud můžeme nyní pochopit, proč například číslo tři je něco matematického. Vidíme tři židle a řekneme : jsou tři. Co je "tři", to nám neřeknou ty tři židle, ani tři jablka nebo tři kočky nebo jakékoliv jiné tři věci. Spíše můžeme spočítat věci jako tři jen tehdy, když už "tři" známe. Tím, že tedy uchopíme číslo tři jako takové, bereme jen výslovně na vědomí to, co už nějak máme. Toto braní na vědomí je vlastně učení. Jde o něco takového, čemu se lze naučit, co musí být pojato jako matematično. Číslo je něco ve vlastním smyslu naučitelné (mathéma), to znamená něco matematického.

K tomuto krátkému zamyšlení nad povahou matematična dalo podnět naše tvrzení, že matematično je základním rysem novověké vědy. To nemůže podle toho, co bylo řečeno, znamenat, že se v této vědě pracovalo s matematikou, nýbrž že otázky byly kladeny způsobem, který měl za následek teprve nutnost rozehrání matematiky v užším smyslu.

Pro vědu vůbec je příznačné vytváření reálného světa (ať již jeho složky fyzikální, biologické nebo společenské) mísením světa poznávaného tělesnými smysly s nějakými světy matematickými. Přitom v tu či onu chvíli může být hlavní důraz kladen jen na některé z těchto světů a jim pak přizpůsobovány ostatní. Jde-li o výraznou převahu světů matematických hovoříme o matematizaci reálného světa, a v takovém případě se pod vlivem matematických výkladů odpovídajícím způsobem mění i naše porozumění světu poznávanému tělesnými smysly (a tedy vlastně samotný tento svět). Je-li tomu naopak, pak v souladu s fakty vytěženými ze světa poznávaného tělesnými smysly ať již pozorováním nebo experimenty, dochází k obohacování nebo k přestavbě některých z použitých světů matematických a ve vzácných okamžicích i k jejich záměně za jiné takové světy.

To, co z matematických světů použitých k tomuto účelu proniklo do světa reálného, je pak oním matematičnem, o němž hovořili staří Řekové a na jehož úlohu v novověké evropské vědě upozornil shora uvedenými slovy Martin Heidegger.

Otevření nějakého matematického světa spočívá v seznámení se s jeho úhelnými jevy a s obecným principem jeho výstavby. Na tomto základě pak povstává stavba, která je dílem již jen našeho rozumění. Její růst se ubírá po cestách čisté logiky řízen záměry čerpanými z obecného principu výstavby příslušného matematického světa. Pokud přece jenom vybočíme jinam, pak pouze proto, abychom budovaný svět obohatili o nějaké nové úhelné jevy a v souladu s jejich povahou poopravili i obecný princip výstavby takového bohatšího matematického světa. Geometrický svět (antický i do klasického nekonečna rozepnutý), Newtonův mechanický svět, svět čísel a různé světy z čísel vystavěné a podobně, jsou takovýmito matematickými světy.

Samovolný a ústrojný růst stavby nějakého matematického světa bereme na vědomí jako to, co už nějak máme. Podílí-li se pak tento matematický svět na výstavbě světa reálného, vnáší do něj ono matematično, které nezískáváme teprve z věcí, nýbrž sami již do reálného světa přinášíme s sebou.

Sevřenost matematických světů způsobená jejich samovolným povstáváním spolu s jejich strohostí zabraňuje pohledům do nich se nořícím, aby se rozptylovaly, čímž usnadňuje úsporným, slídivým a s rozmyslem vedeným pohledům prodírat se často až do závratných hlubin těchto světů. Poznatky odtud vytěžené a užitou matematikou přenášené do světů jejich prostřednictvím matematizovaných jsou pak nezřídka úctyhodné.

Při vytváření reálného světa nemísí věda svět poznávaný tělesnými smysly s ledajakými matematickými světy, ale jen s takovými, které se k tomu samy nabízejí.

O vstup do reálného světa se uchází především takový matematický svět, jenž svými úhelnými jevy zasahuje do světa poznávaného tělesnými smysly a při svém samovolném povstávání se od něj směrem k obzoru odpoutává jen pozvolna. Tehdy vzniká dojem, že celá stavba takového matematického světa leží vlastně v onom hledaném prodloužení světa poznávaného tělesnými smysly, jímž je hledaný reálný svět.

To je případ světa čísel, jehož úhelné jevy - malá přirozená čísla - poznáváme též tělesnými smysly. Přitom souběžně s tím, jak tato čísla rostou, tak se i vytrácejí z dosahu těchto našich smyslů, ne však ze světa reálného. o odpoutávání přirozených čísel od světa poznávaného tělesnými smysly a o snaze udržet je ve světě reálném svědčí kromě jiného i to, jak dlouho Evropě trvalo, než dosáhla až k miliardě, a s jakou samozřejmostí se jí pak zmocnila. Naproti tomu tallakšána, to je dvacáté třetí číslo v posloupnosti, jejímž prvním členem je 100 Koti (jedna miliarda) a každý následující člen je stonásobkem předcházejícího, asi nikdy nebude přijata do světa poznávaného tělesnými smysly, i když v budhistickém spise Lalitavistara je psáno, že Buddha - Gautama uměl tak daleko počítat. Vyloučit toto číslo z reálného světa se však dosud nikdo neodvážil. o tom, že v reálném světě leží i poslední číslo, o němž se v uvedeném spise Buddha zmiňuje (je jím 10421), však dnes již leckdo pochybuje. Podobně racionální číslo tři pětiny lze tělesnými smysly dobře poznat (nejlépe jako tři jednotky z pěti), zachytit takto číslo 131 : 353 již tak snadné není.

Vstupu do reálného světa se domáhá i každý takový matematický svět, do nějž nám usnadňuje vstup nějaký úsek světa poznávaného tělesnými smysly tím, že nabízí našim pohledům, aby se skrz něj prodraly do tohoto matematického světa. Ukazuje-li se takový matematický svět až na samém obzoru ohraničujícím tyto naše pohledy, vykládáme ho jako podklad, na němž se dění reálného světa odehrává.

To je případ světa geometrického. Do něj se především naše pohledy zrakem prodírají skrz tvary a rozlehlosti těles ležících ve světě poznávaném tělesnými smysly, aby se na samotném obzoru náš tělesný zrak přeměnil ve zrak duševní a naše vidění ve vidění geometrické.

Na spoluvytváření reálného světa měly od samých počátků vědy nezastupitelný podíl oba vzpomenuté matematické světy : geometrický svět a svět čísel. Přitom oba byly v průběhu věků více či méně nápadně přetvářeny a obohacovány; někdy z podnětů čistě matematických, jindy proto, aby lépe plnily úlohu, kterou jim věda o reálném světě stanovila. Také jejich postavení v reálném světě bylo jiné před vznikem novověké vědy a jiné po jejím vzniku. Ostatně právě jeho výraznou změnou byla novověká evropská věda vyvolána.

Matematickým světem podílejícím se na Ptolemaiově reálném světě byl antický geometrický svět (popisovaný v Prvních rozpravách s geometrií). Pohyby vlastní věcem ležícím uvnitř světové koule byly jednak kruhové kolem jejího středu, jednak přímočaré do tohoto středu směřující. Přitom výklad pohybu planet pomocí kružnic deferentu, epicyklu a ekvantu patří nepochybně k vrcholným výkonům vědy o tomto reálném světě. Převahu v tomto soužití antického geometrického světa se světem poznávaným tělesnými smysly měl ovšem druhý z uvedených světů. Úkolem geometrie bylo "zachraňovat jevy", jak se tehdy říkalo; to je přizpůsobovat geometrické výklady světu poznávanému tělesnými smysly. Dokladem toho jsou kromě jiného i Purbachovy a Regiomontanovy opravy Ptolemaiova mechanismu pohybu planet provedené v patnáctém století.

Naproti tomu Koperník pouze nevyložil spíše jednodušším než důmyslnějším způsobem pohyby planet po jiných kružnicích, než byly kružnice Ptolemaiovy (rovněž ve světě ohraničeném sférou stálic), jak se to v anonymní předmluvě k prvnímu vydání jeho slavného spisu "O obězích sfér nebeských" pokouší tvrdit Osiander. Nešlo mu o záchranu jevů, ale o vytvoření nového reálného světa, jehož novost spočívala v tom, že Koperníkovo matematično vládlo světu poznávanému tělesnými smysly "udávajíc směr pracovnímu zacházení s věcmi". Člověk pevně stojící na zemi byl tímto novým matematičnem přinucen uznat - v rozporu se zprávami podávanými mu tělesnými smysly - že ho Země unáší závratnou rychlostí kolem Slunce, a navíc ještě kolem zemské osy.

Tuto převahu matematična opírajícího se o nejdokonalejší geometrické tvary však brzy nato oslabil Kepler, jenž opět ve snaze zachránit jevy uštědřil ránu antické kráse jak Ptolemaiova tak Koperníkova matematična tím, že nahradil kružnice elipsami.

Poznamenejme ještě, že ve středověku neležela ona koule ohraničená sférou stálic, v níž se odehrávalo dění reálného světa, v klasickém geometrickém prostoru. Vně této koule sice pokračovalo nebe; to se však netáhlo až do klasicky vykládaného nekonečna. Za sférou stálic byla ještě sféra křišťálová, za ní nadkřišťálová, dále pak následovalo nebe zvané Primum mobile a konečné Empyreum, vlastní to jednobodové sídlo Boha. ve třírozměrném eukleidovském prostoru neexistuje těleso vzniklé z koule stažením jejího povrchu do jediného bodu. o tato nebe doplněný středověký svět byl sice konečně velký, leč bez hranic, sám do sebe uzavřený a tedy postrádající jakéhokoliv "vně".

V téže době, kdy se Kepler snaží zachraňovat jevy pozměněním geometrické složky reálného světa, obhajuje Galileo Galilei svým zákonem volného pádu naprostou převahu matematična v reálném světě nad jevy, o nichž nám zprávu přinášejí tělesné smysly. Na základě pouhého myšlenkového experimentu se totiž odvažuje tvrdit, že všechna tělesa padají k zemi stejně rychle a že právě toto je zákon vložený do reálného světa. ve světě poznávaném tělesnými smysly však tělesa padají k zemi různě rychle. Proto je nutno nalézt jiný zákon, který v jednotlivých případech působení zákona volného pádu ovlivňuje. Bude jím asi nějaký zákon týkající se odporu vzduchu a tak se Galileův žák Torricelli začíná těmito otázkami zabývat.

Galileův zákon volného pádu byl předzvěstí - a lze říci, že předčasnou - vzniku novověké evropské vědy. Plně ho zužitkoval vlastně až Einstein, který z něj vytěžil rovnost setrvačné a gravitační hmoty.

Za nejzřetelnější příznak vzniku novověké evropské vědy bývá považován takzvaný první Newtonův pohybový zákon, podle nějž každé těleso setrvává ve svém stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, jestliže a pokud není vtištěnými silami nuceno onen stav změnit. (Také Heidegger ve zmiňované přednášce právě tento zákon takto hodnotí.)

Nepochybně tento zákon, jehož obměny znali již Galileo a Descartes, vyzdvihuje převahu matematična v reálném světě. ve smyslově poznávaném světě se totiž žádné těleso nepohybuje tak, aby jeho pohyb nebyl ovlivněn okolním prostředím. Důsledky z této skutečnosti však vyvodil až Newton, který si vlastně již ve formulaci tohoto zákona položil otázku, jaké síly mohou jeho působení rušit, a vzápětí nato vhodné zákony o silách vložil do reálného světa.

Galileova a Descartova formulace tohoto zákona, ještě zřetelněji pak Descartova fyzika a v neposlední řadě i učení Giordana Bruna však prozrazují, že zásadní zlom při výstavbě reálného světa, jenž je nejvlastnějším počátkem novověké evropské vědy, nastal již někdy dříve. Byl jím onen osudový krok přírodovědy a vůbec vědy spočívající ve vložení reálného světa do geometrického prostoru tehdy již rozepnutého do klasicky vykládaného nekonečna. První Newtonův pohybový zákon je už jen důsledkem, byť velmi nápadným, tohoto osudového kroku. v takovém prostoru je totiž dle principu jednoduchosti pohyb osamoceného tělesa vskutku přímočarý a rovnoměrný, neboť každý jiný by byl složitější a méně odůvodnitelný.

Když na počátku novověku vstupoval klasický geometrický svět do světa reálného, tak tam již byl kus světa čísel. Přesněji, byla tam již čísla přirozená, kladná racionální a čas od času i záporná. v sedmém století tam indický matematik Brahmagupta záporná čísla vkládal, o dvě století později je tam arabský matematik al Chvárizmí mít nechtěl a ve středověké Evropě po převzetí aritmetiky od Arabů tomu bylo všelijak. v té době se sice ve světě čísel, leč kdesi mimo reálný svět, vznášela (nějak tak, jako dnes čísla imaginární) ta iracionální čísla, která jsou odmocninami z kladných racionálních čísel. Právě ta, a později i různá další iracionální čísla, se nyní dostala do světa reálného. Vstoupila tam spolu s úsečkami jakožto poměry jejich délek. a protože geometrické úsečky byly nyní jevy reálnými, byly jimi i poměry jejich délek. Tak byl postupně dotvořen svět čísel do oboru těch čísel, která jsou dodnes nazývána čísly reálnými.

Na rozdíl od klasického geometrického světa, jenž sloužil novověké evropské vědě zprvu jen jako pevný a ostrý podklad reálného světa, nalézala reálná čísla mnoho rozmanitých uplatnění. Stala se totiž všeobecně uznávaným měřítkem používaným k zachycování a porovnání velikostí téměř každého jevu, který byl jevem velikosti provázen. Spojení reálných čísel s body na přímce pak otevřelo přístup nejprve úsečkám a tím i celému geometrickému světu (nebo alespoň jeho částem) k těmto rozmanitým jevům.

Díky tomu mohl Newton vložit do geometrického světa některé nové jevy. Kromě pohybu a hmoty, které tam vložili již jeho předchůdci, také hustotu hmoty, a především síly, které podřídil svým proslulým zákonům. z těchto úhelných kamenů pak nad klasickým geometrickým světem vyrostl Newtonův mechanický svět.

Na osudový krok novověké vědy spočívající ve vložení světa poznávaného tělesnými smysly do klasického geometrického prostoru plynule navázal krok druhý, rovněž dalekosáhlý. Bylo jím přesvědčení obsažené v dříve již zmiňovaném stěžejním spise Newtonově, že jak klasický geometrický svět, tak i Newtonův mechanický svět jsou nedílnou součástí reálného světa.

Na uvedené matematické světy, které vstoupily do reálného světa spolu se svou ostrostí, již nebylo (a ani nemohlo být) pohlíženo jako na jistou vyostřenou kostru světa poznávaného tělesnými smysly, ale jako na samotný nezkreslený objektivní reálný svět, k němuž se průbojný lidský duch prodral skrze jej zakrývající hromadu subjektivních jevů.

Již klasický geometrický prostor překračoval svou závratnou velikostí přirozený prostor světa poznávaného tělesnými smysly včetně té jeho části, o níž mělo ještě smysl předpokládat, že leží za obzorem ohraničujícím naše pohledy do tohoto světa, stále však ještě v krajině známosti. Vložením Newtonova mechanického světa do světa reálného se ovšem spolu s geometrickým světem rozepnul do klasicky vykládaného absolutního nekonečna i celý reálný svět.

V tomto okamžiku nalezla novověká evropská věda svůj toužebně vyhlížený reálný svět. Nalezla ho a zároveň se ho zmocnila, neboť umožňoval ostrou a dokonalou vědu vytvářenou jen z pouhého čistého rozumu. Vždyť to byl vlastně jen v našem rozumění samovolně povstávající matematický svět. Lagrange, jenž to procítil snad vůbec nejvíce ze všech lidí, o tom řekl, že Newton byl nejen největším, ale i nejšťastnějším mezi všemi učenci, neboť věda o světě, v němž žijeme, může být vytvořena jen jednou a Newton ji vytvořil. Úkolem, který zanechal přírodovědě, bylo už jen zvěcňování této vědy měřením, prováděním experimentů a odbouráváním subjektivních jevů.

Vhodně obohacovaný klasický geometrický svět spolu se světem reálných čísel vládl (v prve uvedeném Heideggerově smyslu) reálnému světu novověké evropské vědy téměř až do dnešní doby. Převaha těchto světů nad světem poznávaným tělesnými smysly byla utvrzována a posilována především znamenitými úspěchy fyziky a později i jiných, netoliko jen přírodních, ale i společenských věd. Příliš ji neoslabilo ani znejistění onoho osudového kroku novověké vědy objevem neeukleidovských geometrií. Teprve až Michelsonův experiment postavil znovu vědu před úkol "zachránit jevy", rozumí se na úkor matematična. Tohoto úkolu se vskutku velkolepým způsobem zhostil Einstein. Jeho teorie relativity přiměla nepříliš ochotnou přírodovědu, aby klasickému geometrickému světu vyhradila skromnější postavení. Stal se pro ni opět jen nástrojem vhodným k matematizaci některých výseků světa poznávaného tělesnými smysly; přitom však nástrojem nesmírně účinným, a navíc v novověké matematice obdivuhodně vypracovaným. (Podrobněji o geometrizaci reálného světa v novověké vědě viz Třetí rozpravy s geometrií.)


Vyprázdnění náplní jevů při novověké matematizaci reálného světa.

Připusťme vstřícně vůči novověké evropské vědě, že svět v němž žijeme, skutečně leží v klasickém geometrickém prostoru, že tělesa v něm se pohybující mají tvary a velikosti geometrických objektů, byť většinou ne těch naprosto dokonalých, že i takové geometrické objekty jako přímky, křivky a plochy vyznačují alespoň místa v tomto prostoru, byť pro zavalitost těles tělesy neobsaditelná. Chceme-li, můžeme být vstřícní i k té pozdější novověké vědě a připustit, že jde o prostor všelijak zakřivený, ale stále ještě takový, že geometrický objekt jeho tvaru a velikosti lze nalézt v sedmirozměrném (a pokud čas vykládáme jeho čtvrtý rozměr, pak v devítirozměrném), popřípadě i v nějakém vícerozměrném klasickém eukleidovském prostoru.

Připustili jsme tedy, že o tvarech a velikostech těles ležících ve světě, v němž žijeme, je možná dokonalá a nezvratná věda z čistého rozumu. Takovou vědu však chceme mít o celém tomto světě. Abychom ji získali, musíme geometrický svět obohatit o další jevy, jmenovitě o hmotu a pohyb těles. To nám nečiní žádné potíže, neboť k tomu, abychom nějaký geometrický objekt odlišili od okolního prostoru, zaplňujeme ho jakousi geometrickou plnotou (viz Druhé rozpravy s geometrií), a pohybovat v myšlení či v představě s takto vyznačenými geometrickými objekty rovněž dovedeme. Uvědomíme-li si ještě, že pohyb si tělesa předávají nárazem, je rekonstrukce dění reálného světa v takto obohaceném geometrickém světě, jakou v Principech filosofie provedl Descartes, už jen záležitostí lidského umu.

V tomto okamžiku ovšem už máme hmotu dvojí. Jednu poznáváme hmatem tělesným, druhou hmatem duševním. Obě tyto hmoty jsou ale podřízeny týmž zákonům a rozdíl je pouze v tom, jak nám jsou dány. To ale znamená, že je vlastně jen jedna "objektivní" hmota a dvě naše různá setkání s ní. Geometrická plnota se tak stala jevem rovnoceným s tím jevem, který povstává, když něco nahmatáme rukama. Ba dokonce jevem důležitějším, neboť ona je předmětem dokonalé a čisté vědy, jí všichni rozumíme stejně. Obraz objektivní hmoty, který geometrická plnota podává, není omezen obzorem ohraničujícím citlivost tělesných smyslů. Naproti tomu při novém setkání s objektivní hmotou, k němuž dochází například tehdy, když něco nahmatáme rukama, nám sice objektivní hmota dává o sobě velmi výrazně vědět, leč obraz, který si o ní utváříme, je značně zkreslený. Ostatně kdo ví, zda všichni pocítíme totéž (budeme mít stejný hmatový počitek), když vezmeme do ruky tuto knihu.

Již na samém počátku novověké evropské vědy je tak matematizace reálného světa provázena vyprazdňováním náplní jevů poznávaných tělesnými smysly a jejich nahrazováním náplněmi matematickými. ze světa poznávaného tělesnými smysly se tak pozvolna stává pole subjektivních jevů. Otevřeně to prohlásil Descartes v dříve již uvedeném úryvku z Principů filosofie. Edmund Husserl, který tento posun protivící se principu všech principů přičítá Galileovi, o tom v Krizi evropských věd píše :

"Galileiho matematizující přetlumočení přírody způsobilo, že se prosadily nesprávné konsekvence, jež přesahují přírodu a byly z hlediska tohoto tlumočení tak přirozené, že dovedly ovládnout veškerý další vývoj pohledu na svět až dodnes. Mám na mysli Galileiho proslulé učení o pouhé subjektivitě specifických smyslových kvalit, které brzy poté pojal Hobbes důsledně jako učení o subjektivitě všech konkrétních fenoménů smyslové názorné přírody a světa vůbec. Fenomény jsou jen v subjektech; jsou v nich jen jako kauzální následky pochodů odehrávajících se v opravdové přírodě, přičemž pochody samy existují jen v matematických vlastnostech. Je-li názorný svět našeho života pouze subjektivní, pak jsou znehodnoceny veškeré pravdy předvědeckého a mimovědeckého života týkajícího se jeho faktického bytí. Nejsou bezvýznamné jen natolik, nakolik, byť falešně, podávají vágní svědectví o bytí o sobě, které leží za tímto světem možné zkušenosti a je mu transcendentní."

Vyprazdňování náplní jevů poznávaných tělesnými smysly a jejich nahrazování náplněmi matematickými završil pozoruhodným způsobem Newton. Přesněji, završené bylo tehdy, když Lagrange ztotožnil Newtonův mechanický svět se světem reálným.

Newtonův mechanický svět nebyl ovšem ani zdaleka tak jednoduchým a bezprostředním obohacením klasického geometrického světa jako různé dřívější mechanické světy.

Newton se především nespokojil s takovým výkladem různosti tíží dvou stejně velkých těles, podle nějž uvnitř lehčího tělesa je více malých prázdných děr než uvnitř tělesa těžšího. (Ostatně ani Descartes by tento jev ve svém světě zaplněném hmotou do posledního místečka přesvědčivě nevyložil.) Ruší proto do té doby všeobecně přijímaný výklad hmoty jakožto stejnorodé hmotné plnoty a zavádí hustotu hmoty. Newtonovo rozmělnění hmoty bylo činem, jehož odvážnost byla neprávem zakryta jinými odvážnými činy tohoto geniálního myslitele. Hustota hmoty nějakého tělesa je zachycena funkcí na jeho objemu, která udává velikost hustoty nepatrných částeček hmoty jevících se jako geometrické body. Hodnotami, které tato funkce nabývá, jsou pochopitelně reálná čísla. Hmota celého tělesa je pak zachycena integrálem takto vykládané hustoty přes jeho objem.

O dalekosáhlosti tohoto kroku se zajisté nemusíme rozepisovat. Připomeňme jen, že tím došlo k dalšímu významnému uplatnění reálných čísel v reálném světě. Nás však v této chvíli nejvíce zajímá to, že podobně jako prve hmota, tak nyní i její hustota byla dvojí. Vlastně opět jen jediná; tou pravou, objektivní, byla ta matematická, kdežto ta, kterou cítíme, když nějaké těleso drtíme v ruce, byla (a dosud stále je) jen naším subjektivním počitkem, vyvolaným při tomto našem styku s jeho hustotou objektivní.

Rovněž vložení sil do geometrického světa nebylo tak jednoduché, jak by se dnes mohlo zdát. v té době totiž nebylo v geometrickém světě po ruce nic, čím by je bylo možno nějakým nasnadě jsoucím způsobem zachytit; vektory v něm byly nalezeny až mnohem později. Přesto i s touto potíží se Newton dovedl vypořádat. a opět, stejně jako prve v případě hmoty a hustoty, i síly byly dvoje; ty matematické, objektivní, a ty, které byly jen subjektivními projevy vyvolanými při našem setkání s těmi objektivními. o síle vůle či slova se každý správný fyzik odmítal bavit.

Podobně další a další fyzikální a později podle jejich vzoru i jiné jevy světa, v němž žijeme, nevstoupily do reálného světa novověké vědy ve své původní danosti, ale vyprázdněny od svých náplní, které byly nahrazeny náplněmi matematickými. Tyto jejich nové náplně pak byly ( a dodnes jsou) brány z klasického geometrického světa (popřípadě i vícerozměrného). Někdy je geometrický svět sám nabízí, jindy z něj musejí být teprve vydolovány. o tom opět Husserl v prve uvedeném spisu :
Co v předvědeckém životě zakoušíme jako barvy, tóny, teplotu a tíži na věcech samých a kauzálně jako vyzařování tepla tělesem, jež zahřívá tělesa okolní apod., je "fyzikálně" ovšem poukazem ke kmitům akustickým, tepelným kmitům, tedy k čistým dějům ve světě tvarů. Tato univerzální indikace je dnes přijímána jako bezesporná samozřejmost.

Na vyprazdňování náplní jevů poznávaných tělesnými smysly se podílela velkou měrou i čísla reálná. Nyní pouze připomeňme, že tato čísla se prosadila jako jednotná stupnice jevu velikosti ve všech jeho lineárních podobách, ačkoliv ve světě poznávaném tělesnými smysly je většina iracionálních čísel naprosto neupotřebitelná; v reálném světě novověké vědy však mají nezastupitelné místo.

K nejdalekosáhlejšímu uplatnění reálných čísel však patří jejich použití k vyprázdnění náplní jevů tentokráte samotného geometrického světa. Jde o Descartovu aritmetizaci geometrie, která byla dopracována a rozvedena v analytické geometrii. Matematický svět, jímž jsou při této aritmetizaci zachyceny náplně jevů klasického geometrického světa, nazýváne aritmetizovaným klasickým geometrickým světem.

Ve všech matematizacích, v nichž vystupuje klasický geometrický svět, lze tento svět nahradit jeho aritmetizací. Takto lze aritmetizovat též Newtonův mechanický svět i jeho různá obohacení, na nichž se reálná čísla podílejí. Prostřednictvím reálných čísel, z nichž jsou po aritmetizaci tyto matematické světy vystavěny, jsou tak z matematických světů vytlačeny čisté geometrické jevy, a to vyprázdněním jejich původních geometrických náplní a jejich nahrazením náplněmi aritmetickými. v "Krizi evropských věd" o tom Husserl napsal :

"Tato aritmetizace geometrie vede již sama od sebe jistým způsobem k vyprázdnění jejího smyslu. Vskutku prostoročasové ideality, objevující se originálně v geometrickém myšlení pod obvyklým titulem "čisté názory", se jaksi přeměňují v ryze číselné podoby, v  algebraické útvary. v algebraickém počítání ustupuje geometrický význam sám od sebe do pozadí, ba dokonce padá. Počítá se, a teprve na konci se vzpomene, že čísla měla znamenat veličiny. Nepočítá se ovšem (jen) mechanicky jako při obvyklém počítání čísel, nýbrž se přemýšlí, vynalézá, popřípadě se dělají i velké objevy, avšak s nepozorovaně posunutým symbolickým smyslem. Později se z toho stane plně vědomý posun, metodický přechod například z geometrie do čisté analýzy zpracované jako samostatná věda, s použitím výsledků v ní dosažených v geometrii."

Husserl zde ovšem naráží na další závažnou událost v dějinách nejen matematiky, ale lidského myšlení vůbec, která se vstupem reálných čísel do geometrického prostoru úzce souvisí. Je jí zapojení matematiky kalkulací, představované nejprve algebrou, a v zápětí na to infinitesimálním kalkulem, do studia geometrického světa, a jeho prostřednictvím i do studia nejrůznějších jiných světů. v tomto okamžiku totiž matematika kalkulací nalezla poprvé výrazné uplatnění jinde než při studiu čísel.

Matematika kalkulací je jedním z nejdravějších proudů veletoku, jímž je matematika. Sledování jeho protékání celou kulturní historií lidstva by si ovšem vyžádalo několik samostatných knih.